a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F cóc

góc EAB chung

Do đó:ΔAEB\(\sim\)ΔAFC

Suy ra: AE/AF=AB/AC

hay \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

b: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

góc HBD chung

Do đó:ΔBDH\(\sim\)ΔBEC

Suy ra: BD/BE=BH/BC

hay \(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF

Suy ra: AB/AC=AE/AF

hay \(AB\cdot AF=AC\cdot AE\)

b: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

góc DBH chung

Do đó: ΔBDH\(\sim\)ΔBEC
Suy ra: BD/BE=BH/BC

hay \(BD\cdot BC=BH\cdot BE\)

+) Câu d sửa đề thành BF . BA + CE . CA = BC²

a, Xét △AFH vuông tại F và △ADB vuông tại D

Có: FAH là góc chung

=> △AFH ᔕ △ADB (g.g)

b, Vì △AFH ᔕ △ADB (cmt) \(\Rightarrow\frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}\)\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AF}\)

Xét △ABH và △ADF

Có: \(\frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AF}\)(cmt)

        BAH là góc chung

=> △ABH ᔕ △ADF (c.g.c)

c, Xét △HFB vuông tại F và △HEC vuông tại E

Có: FHB = EHC (2 góc đối đỉnh)

=> △HFB ᔕ △HEC (g.g)

\(\Rightarrow\frac{HF}{HE}=\frac{HB}{HC}\)

=> HF . HC = HE . HB  

d, Sửa đề thành BF . BA + CE . CA = BC²

Xét △HEC vuông tại E và △AFC vuông tại F

Có: HCE là góc chung

=> △HEC ᔕ △AFC (g.g)

\(\Rightarrow\frac{EC}{FC}=\frac{HC}{AC}\)

=> FC . HC = EC . AC  (1)

Xét △HFB vuông tại F và △AEB vuông tại E

Có: FBH là góc chung

=> △HFB ᔕ △AEB (g.g)

\(\Rightarrow\frac{FB}{EB}=\frac{HB}{AB}\)

=> FB . AB = EB . HB  (2)

Xét △BFC vuông tại F và △HDC vuông tại D

Có: HCD là góc chung

=> △BFC ᔕ △HDC (g.g)

\(\Rightarrow\frac{FC}{DC}=\frac{BC}{HC}\)

=> FC . HC = BC . DC (3)

Xét △BEC vuông tại E và △BDH vuông tại D

Có: HBD là góc chung

=> △BEC ᔕ △BDH (g.g)

\(\Rightarrow\frac{BC}{BH}=\frac{BE}{DB}\)

=> BC . DB = BE . BH (4)

Từ (1) và (3) => EC . AC = BC . DC

Từ (2) và (4) => FB . AB = BC . DB 

Ta có: BF . BA + CE . CA = BC . BD + BC . DC = BC . (BD + DC) = BC . BC = BC²

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)(ĐPCM)

b)

Ta có: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

d) Xét ΔBFC vuông tại F và ΔBDA vuông tại D có 

\(\widehat{FBD}\) chung

Do đó: ΔBFC\(\sim\)ΔBDA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BC}{BA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(BF\cdot BA=BD\cdot BC\)

Xét ΔBEC vuông tại E và ΔADC vuông tại D có 

\(\widehat{BCE}\) chung

Do đó: ΔBEC\(\sim\)ΔADC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CB}{CA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(CE\cdot CA=CB\cdot CD\)

Ta có: \(BF\cdot BA+CE\cdot CA\)

\(=BC\cdot BD+BC\cdot CD\)

\(=BC\left(BD+CD\right)\)

\(=BC\cdot BC=BC^2\)(Đpcm)

Tham Khảo

a.Xét tam giác AHF và tam giác ABD, có:

^BAD: chung

^AFH = ^ADB = \(90^0\)

Vậy tam giác AHF đồng dạng tam giác ABD ( g.g )

Xét tam giác ACF và tam giác ABE, có:

^AFC = ^AEB = \(90^0\)

^A: chung

Vậy tam giác ACF đồng dạng tam giác ABE ( g.g )

b.Ta có:tam giác ACF đồng dạng tam giác ABE

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AB}{AE}\)

\(\Leftrightarrow AF.AB=AC.AE\)

c.Xét tam giác AEF và tam giác ABC, có:

^A:chung

\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AF}{AE}\) ( cmt )

Vậy tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC ( g.g )